GILBERTO

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

DICIEMBRE 13, 2024

Conocimiento personal

El día sábado aprendí a calcular el máximo y el mínimo de una función y se me hizo fácil ya que aprendí a derivar y aplicar las formulas. Se me hizo un poco mas fácil que derivar funciones pero gracias a eso ahora entiendo muchas cosas, y la forma en que se aplican en la vida cotidiana.

Conocimiento Consultado

¿Qué son los máximos y mínimos de una función?

Los máximos de una función son los valores más grandes de la función y los mínimos de una función son los valores más pequeños de la función. Los máximos y mínimos de una función son extremos relativos cuando solo son los valores más grandes o más pequeños de su entorno, pero son extremos absolutos cuando son los valores más grandes o más pequeños de toda la función.

También se pueden identificar los extremos relativos estudiando el crecimiento y decrecimiento de la función:

Un punto es un máximo relativo cuando la función pasa de ser creciente a ser decreciente.
Un punto es un mínimo relativo cuando la función pasa de ser decreciente a ser creciente.

Cómo hallar los máximos y mínimos de una función

A partir de la primera y segunda derivada de una función, se puede saber si una función tiene un extremo relativo en un punto y si dicho punto es un máximo relativo o un mínimo relativo:

Una función tiene un extremo relativo en los puntos que anulan su primera derivada.
$f'(a)=0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un extremo relativo}$
Y el signo de la segunda derivada de la función determina si el punto es un máximo o un mínimo:
- Si la segunda derivada es negativa, la función tiene un máximo relativo en ese punto.
  $f''(a)<0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\'aximo relativo}$
- Si la segunda derivada es positiva, la función tiene un mínimo relativo en ese punto.
  $f''(a)>0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\'inimo relativo}$

Ejemplo 1: Cómo calcular los máximos y mínimos de una función

Una vez hemos visto las definiciones de máximo y mínimo de una función, vamos a resolver un ejemplo paso a paso para que puedas ver cómo se calculan los máximos y los mínimos de una función.

Calcula los extremos relativos de la siguiente función y determina si son máximos o mínimos:

$f(x)=x^3-3x$

Los extremos relativos de la función serán aquellos puntos que cumplan $f'(x)=0$ . Por tanto, primero calculamos la derivada de la función:

$f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-3$

Y ahora igualamos la derivada de la función a cero y resolvemos la ecuación cuadrática resultante:

$f'(x)=0$

$3x^2-3=0$

$3x^2=3$

$x^2=\cfrac{3}{3}$

$x^2=1$

$x= \pm 1$

Por tanto, los extremos relativos de la función son x=+1 y x=-1.

Una vez sabemos los extremos relativos de la función, podemos averiguar si son un máximo o un mínimo con el signo de la segunda derivada. Por lo que calculamos la segunda derivada de la función:

$f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x$

Y ahora evaluamos en la segunda derivada los extremos relativos que hemos encontrado antes, para averiguar si son un máximo o un mínimo relativo:

$f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow$ Mínimo relativo

$f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow$ Máximo relativo

La segunda derivada en x=1 es positiva, por lo que x=1 es un mínimo relativo. En cambio, la segunda derivada en x=-1 es negativa, de modo que x=-1 es un máximo relativo.

Por último, sustituimos los puntos encontrados en la función original para hallar la coordenada Y de los extremos relativos:

$f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)$

$f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)$

En conclusión, los extremos relativos de la función son:

Mínimo en el punto $\bm{(1,-2)}$

Máximo en el punto $\bm{(-1,2)}$

Ejemplo 2: Estudiar la monotonía y los máximos y mínimos de una función

Ahora vamos a ver cómo se resuelve otro tipo de ejercicio. En este caso explicaremos cómo encontrar los máximos y mínimos a partir de la monotonía de una función.

Estudia la monotonía y calcula los extremos relativos de la siguiente función:

$f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}$

Lo primero que debemos hacer es calcular el dominio de la función. Al ser una función racional, tenemos que igualar a 0 el denominador para ver qué números no pertenecen al dominio de la función:

$x-1=0$

$x=1$

$\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}$

Una vez hemos calculado el dominio de la función, debemos estudiar qué puntos anulan la primera derivada. Así que derivamos la función:

$f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}$

$f'(x)=\cfrac{2x^2-2x - x^2}{\left(x-1\right)^2}$

$f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}$

Y ahora igualamos la derivada a 0 y resolvemos la ecuación:

$f'(x)=0$

$\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=0$

El término $\left(x-1\right)^2}$ está dividiendo a todo el lado izquierdo, por tanto, lo podemos pasar multiplicando a todo el lado derecho:

$x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2$

$x^2-2x=0$

Extraemos factor común para resolver la ecuación cuadrática:

$x(x-2)=0$

Para que la multiplicación valga 0, uno de los dos elementos de la multiplicación tiene que ser cero. Así que igualamos cada factor a 0 y obtenemos las dos soluciones de la ecuación:

$\displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}$

Una vez hemos calculado el dominio de la función y $f'(x)=0$ , representamos en la recta todos los puntos críticos encontrados:

Y evaluamos el signo de la derivada en cada intervalo, para saber si la función crece o decrece. Para ello, cogemos un punto de dentro de cada intervalo (nunca los puntos críticos) y miramos qué signo tiene la derivada en ese punto:

$f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}$

$f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}$

Si la derivada es positiva significa que la función crece, pero si la derivada es negativa significa que la función decrece. Por tanto, los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

Crecimiento: $\bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}$

Decrecimiento: $\bm{(0,1)\cup (1,2)}$

Además, en x=0 la función pasa de ser creciente a ser decreciente, así que x=0 es un máximo relativo de la función. Y en x=2 la función pasa de ser decreciente a ser creciente, por lo que x=2 es un mínimo relativo de la función.

Y, por último, sustituimos los puntos encontrados en la función original para hallar la coordenada Y de los extremos:

$f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)$